Le Nombre d’Or pour les nuls

Comment trouver deux longueurs a et b dont la somme divisée par a soit égale au quotient  a/b ?

Le développement algébrique de l'équation de l'image de tête de billet la présente sous une autre forme:

ð      (a/a) + (b/a) => 1+ (b/a) = a/b  => (a/b) + 1 = (a/b) ²  =>  (a/b) ² – (a/b) – 1 = 0

On constate alors qu'il s'agit en fait de résoudre l’équation du second degré :  x ² – x – 1 = 0  dans laquelle  x représente le quotient  a/b.

Ci-dessous, la résolution de cette équation sans passer par la méthode globale "moderne" utilisant la notion de déterminant.

Comment obtenir un rectangle d'or à partir d'un carré avec un compas

Réponse : la longueur a doit être égale à b multiplié par φ.

Ainsi, si b = 1 dm, a  est sensiblement égal à 1,618033 dm.

Liens:

http://trucsmaths.free.fr/nombre_d_or.htm#historique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_d'or

http://fr.wikipedia.org/wiki/Alg%C3%A8bre_g%C3%A9om%C3%A9trique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_irrationnel

Le nombre d’or a donné lieu à de multiples divagations ésotériques ou extrapolations prosélytes alors qu’il s'apparente à l’ensemble des nombres irrationnels qui est indénombrable. Les racines carrées des entiers (5, ici dans son calcul) en font tout bêtement partie.

Résolution géométrique d’un type d’équation de degré 2 à l’aide d’un gnomon

Statue d’ Al-Kwharizmi à Khiva

A la base :

Le gnomon, du grec ancien « γνώμων » qui signifie « indicateur » ou « ce qui révèle », est un des premiers instruments utilisé en astronomie. C'est une simple tige verticale (style) plantée sur un plan horizontal. Il est connu depuis la plus haute antiquité (égyptiens, chaldéens, grecs). La longueur de l'ombre portée permet de mesurer la hauteur d’un astre, l'angle alpha de celui-ci, et la direction de l'ombre donne l'azimut de l'astre. Le gnomon est l'ancêtre du cadran solaire. Ératosthène, savant grec (géomètre de l'école d'Alexandrie) vers l'an 250 Av JC, mesura avec cet instrument rudimentaire le méridien terrestre avec une précision étonnante.

En géométrie :

Un gnomon est une figure plane formée en enlevant un parallélogramme, d'un coin d'un plus grand parallélogramme. Lorsque le parallélogramme est un rectangle, le gnomon est alors une sorte d'équerre. La notion se généralise à toute figure géométrique qui doit être ajoutée à une figure donnée, pour que la nouvelle figure soit semblable à la première.

Al-Khwarizmi :

Al-Khwarizmi Muhammad ibn Moussa est né à Khwarizem (Ouzbékistan), d'où son nom. Il fut astronome sous le règne du Calife Abd Allah al Mahmoun (786-833) qui encouragea la philosophie et les sciences en ordonnant la traduction (827) des textes de la Grèce antique. C'est ainsi, par exemple, que fut connue l'œuvre de Ptolémée, dite Al majisti (la très grande) : l'Almageste.

La notoriété d'Al-Khwarizmi nous est parvenue à travers les siècles moins par ses talents d'astronome que par son intervention dans l'art du calcul algébrique : il est l'auteur du célèbre ouvrage Kitab Al jabr w'al mouqabala, translittération latine du titre arabe, soit : Livre sur la science de la transposition et de la réduction.

Le problème :

Aidé par les travaux nettement antérieurs de ses précurseurs grecs - Pythagore, Euclide, Ératosthène et Ptolémée, en particulier - Al Kwharizmi s’est attelé, à l’aide d’un gnomon géométrique, à résoudre ce qu’en algèbre on nommera par la suite une équation de degré 2.

- Le problème posé en langage géométrique de la résolution d’une équation de degré 2 serait :

Le nombre obtenu en ajoutant celui de la surface d’un carré à la longueur de son côté multiplié par un nombre donné (b) est égale à un autre nombre donné (c). Quel est la longueur (x) du côté de ce carré ?

- En utilisant le formalisme algébrique l’énoncé de ce problème devient :

Des nombres b et c sont donnés. Trouver x tel que : 

  (1)  x² + bx   = c

On se trouve bien face à la formulation algébrique d’une équation dite de degré 2, plus généralement écrite : ax² + bx + c = 0.

Vu l’énoncé du problème initial, dans ce cas particulier, b et c ne peuvent être que des nombres entiers positifs.

Utilisation d’un gnomon pour trouver la solution :

Capture d’image d’un extrait de fichier PDF proposé par Nicole Bopp sur Internet.

A noter qu'on peut appliquer ce type de méthode géométrique à la résolution d'une équation de degré 3 à l'aide de cubes en remplacement des aires planes des carrés (Méthode de Tartaglia dans les années 1500).

Trois liens:

La formalisation de la résolution générale d’une équation de degré 2

Autres travaux d’Al-Khwrizmi et précisions historiques sur ce personnage

Le fichier PDF dont est extrait la capture d'écran

Complément historique :

Les équations du second degré sont au centre de l'algèbre babylonienne, dès avant le XVII siècle av. J.‑C.. La tablette d'argile BM 13901 a été qualifiée de « véritable petit manuel d'algèbre, consacré à l'équation du second degré et aux systèmes d'équations, et donnant les procédures résolutoires fondamentales ».
Les équations du second degré ont été étudiées systématiquement par Al-Khwarizmi au IXe siècle, dans un ouvrage intitulé "Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison" qui, via le mot « restauration » ou « reconstruction » (en arabe : al-jabr) a donné son nom à l'algèbre. Al-Khawarizmi distingue six cas d'équations du premier ou second degré dans lesquels les paramètres a, b et c sont tous positifs :
les carrés égalent les racines :  ax² = bx ;
les carrés égalent les nombres : ax² = c ;
les racines égalent les nombres : bx = c ;
les carrés et les racines égalent les nombres : ax² + bx = c ;
les carrés et les nombres égalent les racines : ax² + c = bx ;
les racines et les nombres égalent les carrés : bx + c = ax² ;

Il démontre les méthodes de résolution en suivant des raisonnements d'algèbre géométrique.


Sources: Wikipédia et liens présents ou mentionnés

L'esprit arithmétique

Cela faisait longtemps que mon ancien professeur de Maths n’était pas revenu faire de la figuration dans un billet. Notre homme portait aux nues "l’esprit arithmétique" qu’il mettait bien au-dessus de "l’esprit algébrique". Ce petit test, ou l'une de ses variantes, selon lui, permettrait de "dépister" à coup sûr ceux qui ont la «bosse de l’arithmétique». Je pense qu’il se faisait beaucoup d’illusion quant au crédit réel à donner à son gadget.

Allez ! Personne ne regarde... Testez vos capacités. Sachez en plus que le hasard peut voler à votre secours et flatter bassement votre orgueil…

Le disque terrestre

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J’avais décidé de pondre un court billet sur un précurseur dont l’Histoire, sélective oublieuse ou amnésique, perd trop longtemps la trace du génie. Un de ces personnages dont la curiosité jubilatoire éveille toujours en moi une émotion sans commune mesure avec celle censée dégager l’évocation enjolivée de hauts-faits d’armes ou l’exposé des bilans de règnes de grands monarques. Un de ces hommes dont la grande qualité d’observation a permis parfois de chambouler quelques dogmes ou partant de constatations évidentes méprisées par leurs contemporains d'aboutir à des découvertes qu’a postériori, avec facilité, on juge évidentes comme l’œuf de Colomb.

Eratosthène, philosophe, astronome, géographe et mathématicien, grec du IIIème siècle av. J.C., m’était rapidement venu à l’esprit. Sa déduction purement géométrique de la circonférence de la Terre représentait à mes yeux un des exemples les plus démonstratifs de personnage s’attelant à l’observation de ces évidences méprisées et mettant à bas les divagations encouragées pourtant par les siècles futurs. La Terre est restée plate pendant plus d’un millénaire encore après lui pour les brillants penseurs occidentaux. Pourtant, une simple observation marine pouvait laisser perplexe les curieux: un bateau partant vers le large, disparaît progressivement de bas en haut. Si la Terre était plate, comment expliquer alors ce phénomène?
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Les manuels de trigonométrie des collèges et de nombreux sites Internet ont devancé évidemment mon entreprise. Une page bien faite d’un particulier consacrée à ce pionnier moins connu que Pythagore ou Galilée va économiser mon énergie et enfoncer le clou qui prouve, cette fois, qu’il est rarissime de faire preuve d’originalité. Bon, vous me direz, Galilée avait pompé sur Copernic. Le site dont je vous propose le lien ci-dessous regorge d’autres illustrations apportant de l’eau au moulin de ma mission de grand redresseur de torts.

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Le lien ci-dessous

Des chiffres et des angles

Un correspondant m’a adressé dernièrement un diaporama PowerPoint fournissant une explication étonnante au graphisme des chiffres actuellement en vigueur dans notre écriture moderne. Ceux-ci sont dénommés «chiffres arabes» et nous auraient été légués par l’intermédiaire de l’Espagne durant la colonisation musulmane de leur territoire de 714 à 1492. Je savais que nous devions aux Maures l’invention du zéro (mot arabe signifiant «le vide»), mais n’avait jamais eu vent qu’ils avaient emprunté aux Phéniciens leur mode de numération. Celui-ci retrouvé sur des abaques proposait neuf chiffres dont la calligraphie procède d’une logique se fondant sur le nombre d’angles contenu dans les figures originales de ces chiffres. L’iconographie de tête de billet en fait la démonstration. Merci aux internautes curieux de m’adresser des commentaires pouvant valider ou invalider cette théorie. Esprits obtus, un angle de vue nouveau plein d’acuité sur les chiffres anguleux...

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Un lien sur l'histoire des chiffres

Note humoristique: de nombreuses personnes, en écrivant le chiffre 7, utilisent une barre supplémentaire horizontale au milieu du chiffre. La plupart des typographies l'ont fait disparaître aujourd'hui. Mais savez-vous pourquoi cette barre a survécu jusqu'à nos jours? Il faut remonter bien loin, aux temps bibliques. Lorsque Moïse eut gravi le mont Sinaï, et que les 10 commandements lui furent dictés, il redescendit vers son peuple et leur lut à haute et forte voix chaque commandement. Arrivé au septième « Tu ne commettras point d'adultère.Tu ne désireras pas la femme de ton prochain », de nombreuses voix s'élevèrent parmi le peuple lui criant : "Barre le sept, barre le sept, barre le sept !"

Et voilà l'origine de la barre du sept !

Coup dur pour Euclide

Allez savoir pourquoi, cette colle proposée par mon prof de Maths de 3ème, me revient ce jour à l’esprit ? Comment démonter qu’un angle droit est égal à un angle de 85° ? A l’époque, cela m’avait pris un certain temps (pour reprendre l’expression du sketch de Fernand Raynaud) pour découvrir le subterfuge. Euclide pouvait se rendormir paisiblement dans sa tombe. Voici sa démonstration, à vous de jouer :

1– On trace deux segments AB et BC de taille quelconque perpendiculaires en B.

2– On trace un segment CD égal à AB faisant un angle de 85° avec BC en C.

3– On élève les médiatrices de BC et AD qui se coupent en E. Le pied de la médiatrice de BC est nommé F.

4– On trace enfin les segments EB et EC.

Vos bons souvenirs de géométrie vous indiquent que les triangles ABE et DCE sont des triangles semblables car leurs trois cotés sont respectivement égaux par définition et propriétés des médiatrices. Les angles ABE et DCE sont donc égaux. Le triangle EBC est isocèle car EF est la médiatrice de BE. Les angles EBC et ECB sont donc égaux. L’angle droit ABC et l’angle de 85° DCB sont donc bien égaux car sommes de deux angles égaux.

90° = 85° C.Q.F.D.

Étonnant, n'est-il pas? Il paraît qu’on peut faire dire ce qu’on veut aux statistiques. Cela s’appliquerait-il aussi à la géométrie?