Résolution géométrique d’un type d’équation de degré 2 à l’aide d’un gnomon

Statue d’ Al-Kwharizmi à Khiva

A la base :

Le gnomon, du grec ancien « γνώμων » qui signifie « indicateur » ou « ce qui révèle », est un des premiers instruments utilisé en astronomie. C'est une simple tige verticale (style) plantée sur un plan horizontal. Il est connu depuis la plus haute antiquité (égyptiens, chaldéens, grecs). La longueur de l'ombre portée permet de mesurer la hauteur d’un astre, l'angle alpha de celui-ci, et la direction de l'ombre donne l'azimut de l'astre. Le gnomon est l'ancêtre du cadran solaire. Ératosthène, savant grec (géomètre de l'école d'Alexandrie) vers l'an 250 Av JC, mesura avec cet instrument rudimentaire le méridien terrestre avec une précision étonnante.

En géométrie :

Un gnomon est une figure plane formée en enlevant un parallélogramme, d'un coin d'un plus grand parallélogramme. Lorsque le parallélogramme est un rectangle, le gnomon est alors une sorte d'équerre. La notion se généralise à toute figure géométrique qui doit être ajoutée à une figure donnée, pour que la nouvelle figure soit semblable à la première.

Al-Khwarizmi :

Al-Khwarizmi Muhammad ibn Moussa est né à Khwarizem (Ouzbékistan), d'où son nom. Il fut astronome sous le règne du Calife Abd Allah al Mahmoun (786-833) qui encouragea la philosophie et les sciences en ordonnant la traduction (827) des textes de la Grèce antique. C'est ainsi, par exemple, que fut connue l'œuvre de Ptolémée, dite Al majisti (la très grande) : l'Almageste.

La notoriété d'Al-Khwarizmi nous est parvenue à travers les siècles moins par ses talents d'astronome que par son intervention dans l'art du calcul algébrique : il est l'auteur du célèbre ouvrage Kitab Al jabr w'al mouqabala, translittération latine du titre arabe, soit : Livre sur la science de la transposition et de la réduction.

Le problème :

Aidé par les travaux nettement antérieurs de ses précurseurs grecs - Pythagore, Euclide, Ératosthène et Ptolémée, en particulier - Al Kwharizmi s’est attelé, à l’aide d’un gnomon géométrique, à résoudre ce qu’en algèbre on nommera par la suite une équation de degré 2.

- Le problème posé en langage géométrique de la résolution d’une équation de degré 2 serait :

Le nombre obtenu en ajoutant celui de la surface d’un carré à la longueur de son côté multiplié par un nombre donné (b) est égale à un autre nombre donné (c). Quel est la longueur (x) du côté de ce carré ?

- En utilisant le formalisme algébrique l’énoncé de ce problème devient :

Des nombres b et c sont donnés. Trouver x tel que : 

  (1)  x² + bx   = c

On se trouve bien face à la formulation algébrique d’une équation dite de degré 2, plus généralement écrite : ax² + bx + c = 0.

Vu l’énoncé du problème initial, dans ce cas particulier, b et c ne peuvent être que des nombres entiers positifs.

Utilisation d’un gnomon pour trouver la solution :

Capture d’image d’un extrait de fichier PDF proposé par Nicole Bopp sur Internet.

A noter qu'on peut appliquer ce type de méthode géométrique à la résolution d'une équation de degré 3 à l'aide de cubes en remplacement des aires planes des carrés (Méthode de Tartaglia dans les années 1500).

Trois liens:

La formalisation de la résolution générale d’une équation de degré 2

Autres travaux d’Al-Khwrizmi et précisions historiques sur ce personnage

Le fichier PDF dont est extrait la capture d'écran

Complément historique :

Les équations du second degré sont au centre de l'algèbre babylonienne, dès avant le XVII siècle av. J.‑C.. La tablette d'argile BM 13901 a été qualifiée de « véritable petit manuel d'algèbre, consacré à l'équation du second degré et aux systèmes d'équations, et donnant les procédures résolutoires fondamentales ».
Les équations du second degré ont été étudiées systématiquement par Al-Khwarizmi au IXe siècle, dans un ouvrage intitulé "Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison" qui, via le mot « restauration » ou « reconstruction » (en arabe : al-jabr) a donné son nom à l'algèbre. Al-Khawarizmi distingue six cas d'équations du premier ou second degré dans lesquels les paramètres a, b et c sont tous positifs :
les carrés égalent les racines :  ax² = bx ;
les carrés égalent les nombres : ax² = c ;
les racines égalent les nombres : bx = c ;
les carrés et les racines égalent les nombres : ax² + bx = c ;
les carrés et les nombres égalent les racines : ax² + c = bx ;
les racines et les nombres égalent les carrés : bx + c = ax² ;

Il démontre les méthodes de résolution en suivant des raisonnements d'algèbre géométrique.


Sources: Wikipédia et liens présents ou mentionnés